3.2.1.1 Premier modèle testé glm1

On réalise l’analyse statistique sur les données brutes et non sur les données groupées par classe d’âge pour éviter de masquer la variabilité de la fécondité annuelle entre individus via une somme des fécondité par classe d’âge. Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. La variable “id” est désignée comme variable aléatoire pour tenir compte du fait que les observations sont répétées sur les mêmes individus sur plusieurs années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + (1 | id)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1601.2   1616.5   -797.6   1595.2     1216 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.8934 -1.1311  0.6397  0.7592  1.0459 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.2843   0.5332  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.88399    0.17400   5.081 3.76e-07 ***
## age         -0.03981    0.01688  -2.358   0.0184 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##     (Intr)
## age -0.905

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1601. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. En calculant l’inverse de la fonction logit, on calcule le coefficient qui permet d’exprimer la fécondité annuelle en fonction de l’âge. Il est 4.061% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur âge augmente d’un an (p value<0.02).

3.2.1.2 Second modèle testé glm2

On ajoute la variable “year” comme variable aléatoire pour prendre en compte le fait que les individus sont suivis sur les mêmes années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1583.0   1603.4   -787.5   1575.0     1215 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.1300 -1.0339  0.5917  0.7282  1.4224 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3172   0.5632  
##  year   (Intercept) 0.1851   0.4303  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)  0.97013    0.20191   4.805 1.55e-06 ***
## age         -0.04340    0.01754  -2.474   0.0133 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##     (Intr)
## age -0.811

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1583. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. En calculant l’inverse de la fonction logit, on calcule le coefficient qui permet d’exprimer la fécondité annuelle en fonction de l’âge. Il est 4.435% moins vraisemblable que les chamois aient un petit lorsque leur âge augmente d’un an (p value<0.02).

L’AIC du modèle glm2 est < AIC du modèle glm1 donc, par la suite, les variables “year” et “ID” sont conservées comme variables aléatoires.

3.2.1.3 Troisième modèle testé glm1q

Un modèle quadratique est testé par la suite pour prendre en compte la tendance de la ligne de régression observée sur les graphiques (via la fonction geom_smooth). Pour appuyer ce choix, sur le graphique qui représente les données groupées par âge, un modèle de type quadratique est ajoutée et ce modèle est bien ajustée aux données observées (cf figure ci-dessous).

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age + I(age^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1496.3   1521.8   -743.2   1486.3     1214 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5079 -0.8929  0.5018  0.6685  5.2068 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3540   0.5950  
##  year   (Intercept) 0.2566   0.5066  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept) -2.005000   0.392488  -5.108 3.25e-07 ***
## age          0.690386   0.086746   7.959 1.74e-15 ***
## I(age^2)    -0.037416   0.004465  -8.381  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##          (Intr) age   
## age      -0.910       
## I(age^2)  0.836 -0.976
## optimizer (Nelder_Mead) convergence code: 0 (OK)
## Model failed to converge with max|grad| = 0.00647378 (tol = 0.002, component 1)
## Model is nearly unidentifiable: very large eigenvalue
##  - Rescale variables?

La variable âge est centrée normée car le modèle n’arrive pas à converger.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ age_scale + I(age_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1496.3   1521.8   -743.2   1486.3     1214 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5079 -0.8929  0.5018  0.6685  5.2068 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3540   0.5950  
##  year   (Intercept) 0.2566   0.5066  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     1.179656   0.151563   7.783 7.07e-15 ***
## age_scale      -0.006016   0.074835  -0.080    0.936    
## I(age_scale^2) -0.588891   0.070277  -8.380  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) ag_scl
## age_scale    0.076       
## I(ag_scl^2) -0.485 -0.113

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1496. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.2 donc il n’y a pas de surdispersion observée. L’AIC de ce modèle quadratique < l’AIC des modèles glm1 et glm2 donc le modèle quadratique est plus adapté comme attendu graphiquement. Une observation des coefficients associés aux termes âge et âge^2 indique que le terme “âge” n’est pas significatif dans la prédiction de la variable réponse (p value = 0.94) alors que la p value associée au terme “âge^2” < 0.01. La fonction carré est donc testée.

3.2.1.4 4ème modèle testé glm1c

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ I(age_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1494.3   1514.7   -743.2   1486.3     1215 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -2.5094 -0.8914  0.5025  0.6684  5.1922 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.3525   0.5937  
##  year   (Intercept) 0.2567   0.5067  
## Number of obs: 1219, groups:  id, 208; year, 26
## 
## Fixed effects:
##                Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)     1.18061    0.15108   7.814 5.53e-15 ***
## I(age_scale^2) -0.58955    0.06975  -8.452  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## I(ag_scl^2) -0.480

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1494. Avec ce modèle, la dispersion calculée est 1.2 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Le modèle étant compliqué, il est difficile d’interpréter les coefficients car il faudrait prendre en compte l’effet de lien logit, le fait que la varibale “age” ait été centrée normée et le fait qu’on ait appliqué un carré à la variable explicative. Par contre, on peut conclure que la variable “age^2” a un bien un effet significatif et négatif sur la fécondité annuelle des chamois comme l’indique l’exponentielle du logarithme de l’odd-ratio qui est <1.

3.2.1.5 5ème modèle testé lm1g et glm1g sur variables groupées

Même s’il semblait plus adéquat de travailler sur les données brutes, un modèle linéaire a été testé sur les données groupées par classe d’âge.

## 
## Call:
## lm(formula = fecmean ~ age, data = cham_age)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.41788 -0.09736 -0.03280  0.15228  0.24735 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.902957   0.091529   9.865 6.55e-09 ***
## age         -0.035026   0.006382  -5.488 2.70e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.1771 on 19 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6132, Adjusted R-squared:  0.5928 
## F-statistic: 30.12 on 1 and 19 DF,  p-value: 2.705e-05

L’âge présente un effet significatif (p value < 0.01) avec une fécondité moyenne de la population qui diminuerait chaque année de 0.035 avec un R2 supérieur à 0.6. Le modèle linéaire ne semble en revanche pas valider toutes les hypothèses requises: -Normalité des résidus validée -Homoscédasticité des résidus non validée Un modèle glm1g est donc testé sur les variables groupées par classe d’âge.

## 
## Call:
## glm(formula = fecmean ~ age, family = "gaussian", data = cham_age)
## 
## Deviance Residuals: 
##      Min        1Q    Median        3Q       Max  
## -0.41788  -0.09736  -0.03280   0.15228   0.24735  
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  0.902957   0.091529   9.865 6.55e-09 ***
## age         -0.035026   0.006382  -5.488 2.70e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for gaussian family taken to be 0.03136476)
## 
##     Null deviance: 1.54058  on 20  degrees of freedom
## Residual deviance: 0.59593  on 19  degrees of freedom
## AIC: -9.2098
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 2

## [1] 0.9655803

Même si le travail sur les données brutes est préféré, ce modèle glm1g montre une fois de plus un impact de l’age sur la fécondité moyenne annuelle de la population (p value<0.01) avec un AIC faible (-9.2)

6.2.1.1 Premier modèle

Le premier modèle appliqué est un modèle glm qui utilise la fonction de lien binomial afin de prendre en compte le fait que la variable réponse soit une variable binomiale. Les variables “id” et “year” sont désignées comme variables aléatoires pour tenir compte du fait que les observations sont répetées sur les mêmes individus sur plusieurs années.

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1095.7   1114.6   -543.8   1087.7      827 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9453 -1.0366  0.6092  0.7325  1.1869 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.43475  0.6594  
##  year   (Intercept) 0.04156  0.2039  
## Number of obs: 831, groups:  id, 155; year, 25
## 
## Fixed effects:
##              Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
## (Intercept)  0.514760   0.336411   1.530    0.126
## long        -0.001207   0.024977  -0.048    0.961
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##      (Intr)
## long -0.946

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle = 1096. Avec ce modèle, la dispersion calculée comme le ratio variance/df est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Avec ce modèle, la p value associé à l’impact de la variable “longévité” sur la fécondité annuelle est de 0.96 donc l’effet de la longévité sur la variable réponse n’est pas significatif.

6.2.1.2 Second modèle

On applique un modèle quadratique pour prendre en compte la tendance de la ligne de régression observée sur les graphiques qui présente une inflexion.

## Warning in checkConv(attr(opt, "derivs"), opt$par, ctrl = control$checkConv, :
## Model failed to converge with max|grad| = 0.00368322 (tol = 0.002, component 1)

## Warning in checkConv(attr(opt, "derivs"), opt$par, ctrl = control$checkConv, : Model is nearly unidentifiable: very large eigenvalue
##  - Rescale variables?;Model is nearly unidentifiable: large eigenvalue ratio
##  - Rescale variables?

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ long_scale + I(long_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1087.7   1111.3   -538.8   1077.7      826 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.8996 -1.0484  0.6048  0.7235  1.2578 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.35326  0.5944  
##  year   (Intercept) 0.05225  0.2286  
## Number of obs: 831, groups:  id, 155; year, 25
## 
## Fixed effects:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.72629    0.13075   5.555 2.78e-08 ***
## long_scale      -0.02455    0.09424  -0.260   0.7945    
## I(long_scale^2) -0.21946    0.06915  -3.174   0.0015 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr) lng_sc
## long_scale  -0.015       
## I(lng_sc^2) -0.555  0.101

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1088. Avec ce modèle, la dispersion calculée est de 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. L’AIC de ce modèle quadratique < l’AIC du modèle linéaire donc le modèle quadratique est plus adapté. Une observation des coefficients associés aux termes longévité et longévité^2 indique que le terme “longévité” n’est pas significatif dans la prédiction de la variable réponse (p value = 0.79) alors que la p value associée au terme “longévité^2” < 0.01. La fonction carré est donc testée.

6.2.1.3 Troisième modèle

## Generalized linear mixed model fit by maximum likelihood (Laplace
##   Approximation) [glmerMod]
##  Family: binomial  ( logit )
## Formula: fec ~ I(long_scale^2) + (1 | id) + (1 | year)
##    Data: cham2
## 
##      AIC      BIC   logLik deviance df.resid 
##   1085.7   1104.6   -538.9   1077.7      827 
## 
## Scaled residuals: 
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.9027 -1.0474  0.6044  0.7221  1.2898 
## 
## Random effects:
##  Groups Name        Variance Std.Dev.
##  id     (Intercept) 0.34640  0.5886  
##  year   (Intercept) 0.05033  0.2243  
## Number of obs: 831, groups:  id, 155; year, 25
## 
## Fixed effects:
##                 Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept)      0.72585    0.12992   5.587 2.31e-08 ***
## I(long_scale^2) -0.21769    0.06853  -3.177  0.00149 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Correlation of Fixed Effects:
##             (Intr)
## I(lng_sc^2) -0.558

Interprétation des coefficients:

L’AIC de ce modèle est de 1086. Avec ce modèle, la dispersion calculée est 1.3 donc il n’y a pas de surdispersion observée. Le modèle étant compliqué, il est difficile d’interpréter les coefficients car il faudrait prendre en compte l’effet de lien logit, le fait que la variable “long” ait été centrée normée et le fait qu’on ait appliqué un carré à la variable explicative. Par contre, on peut conclure que la variable “long^2” a un bien un effet significatif et négatif sur la fécondité annuelle des chamois comme l’indique l’exponentielle du logarithme de l’odd-ratio qui est <1.

7.1.2.1 Premier modèle testé lm1

## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ pds + agemark, data = cham_pds_tri)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -3.8300 -1.3974 -0.1664  1.2372  5.5550 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  1.88790    2.01153   0.939   0.3500    
## pds          0.18330    0.09092   2.016   0.0462 *  
## agemark     -0.34596    0.06141  -5.633 1.33e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.002 on 112 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2233, Adjusted R-squared:  0.2094 
## F-statistic:  16.1 on 2 and 112 DF,  p-value: 7.16e-07

Le modèle linéaire semble valider toutes les hypothèses requises: -Normalité des résidus validée -Homoscédasticité des résidus validée

7.1.2.2 Deuxième modèle testé lm2

## 
## Call:
## lm(formula = feconditetotale ~ pds + agemark + long, data = cham_pds_tri)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.68994 -0.55654 -0.02483  0.82352  2.01824 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -0.95349    1.41230  -0.675    0.501    
## pds          0.10375    0.06482   1.601    0.113    
## agemark     -0.68981    0.04731 -14.581   <2e-16 ***
## long         0.60494    0.04399  13.752   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.099 on 87 degrees of freedom
##   (24 observations effacées parce que manquantes)
## Multiple R-squared:  0.7489, Adjusted R-squared:  0.7402 
## F-statistic: 86.47 on 3 and 87 DF,  p-value: < 2.2e-16

Le modèle linéaire semble valider toutes les hypothèses requises: -Normalité des résidus validée -Homoscédasticité des résidus validée

7.1.2.3 3ème modèle testé glm1

L’allure de la fécondité totale semble suivre une loi de poisson donc on applique une modèle glm avec un effet de lien de poisson.

## 
## Call:
## glm(formula = feconditetotale ~ pds + agemark + long, family = "poisson", 
##     data = cham_pds_tri)
## 
## Deviance Residuals: 
##      Min        1Q    Median        3Q       Max  
## -1.93804  -0.49224  -0.04153   0.53622   1.14875  
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
## (Intercept) -0.18720    0.75251  -0.249    0.804    
## pds          0.03364    0.03446   0.976    0.329    
## agemark     -0.21180    0.02451  -8.642   <2e-16 ***
## long         0.17420    0.02095   8.317   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## (Dispersion parameter for poisson family taken to be 1)
## 
##     Null deviance: 149.683  on 90  degrees of freedom
## Residual deviance:  52.512  on 87  degrees of freedom
##   (24 observations effacées parce que manquantes)
## AIC: 298.3
## 
## Number of Fisher Scoring iterations: 4

D’après les modèles testées, les variables longévité et age de marquage influent bien sur la fécondité totale comme attendu mais la variable poids ne semble pas impacter la fécondité totale.